グラフの三角形面積を求める方法とy切片の計算

与えられた直線方程式 y = -2x + b によって描かれるグラフと、y切片、原点O、およびx切片によって形成される三角形の面積が25のとき、bの値を求める方法を解説します。この問題を解くために必要な数学的な考え方と手順を、わかりやすく説明します。

1. 三角形の面積の公式

まず、三角形の面積を求める基本的な公式を思い出しましょう。三角形の面積は、底辺 × 高さ ÷ 2 という公式で求められます。

今回の問題では、直線とx軸、y軸が作る三角形の底辺と高さをそれぞれ求める必要があります。底辺はx切片と原点Oの距離、高さはy切片とx軸の距離です。

直線方程式 y = -2x + b において、y切片は b です。つまり、y軸上で直線が交わる点は (0, b) となります。

x切片は、y = 0 のときのxの値です。直線方程式 y = -2x + b において、y = 0 とすると、次の式が得られます。

0 = -2x + b

これを解くと、x = b / 2 となります。したがって、x切片は (b / 2, 0) となります。

三角形の底辺は x切片と原点Oの間の距離、つまり b / 2 です。高さは y切片の値である b です。

したがって、三角形の面積は以下の式で求められます。

面積 = (b / 2) × b ÷ 2 = b^2 / 4

問題文によると、この三角形の面積は 25 です。したがって、次の式を解く必要があります。

b^2 / 4 = 25

両辺に 4 を掛けると、b^2 = 100 となります。

これを解くと、b = 10 または b = -10 です。

y = -2x + b のグラフで、y切片、原点O、およびx切片によって作られる三角形の面積が 25 になるとき、b の値は 10 または -10 であることがわかりました。問題を解く際には、三角形の底辺と高さを正確に求め、その面積を求めるために必要な公式を適用することが重要です。