不等式の証明：積分の評価と証明方法

次の不等式を証明する問題に取り組んでみましょう。具体的には、次の不等式を示す方法を解説します。

(1/2)≦∫[0→１] 1/(x²+x+1)dx ≦log2

問題の概要

この問題は、与えられた積分式が、指定された範囲内で評価されるべきことを示すことです。積分の評価を行い、与えられた不等式を証明することが求められています。まずは、積分式を計算し、その評価範囲を確認していきましょう。

まず、積分式 ∫[0→１] 1/(x²+x+1)dx を計算します。この式は、分母が二次式であり、簡単に積分を解くためには、まず分母の二次式を完全平方にすることが有効です。

式は次のように書き換えられます。

1/(x²+x+1) = 1/((x+1/2)² + 3/4)

これにより、積分を解きやすくするための形に変換できます。この積分は、標準的な積分テクニックを使用して評価できます。

次に、与えられた不等式の左右を評価します。左辺 (1/2) と右辺 log2 の評価を確認します。

まず、左辺の (1/2) は簡単に確定しています。次に、右辺の log2 を確認します。この値はおおよそ 0.693 となり、積分の結果がこれらの範囲内に収束することを確認することが目標です。

積分の結果が (1/2) と log2 の間に収まることを示すために、積分の具体的な値を計算し、それがこれらの範囲内に収まることを確かめることが必要です。

積分の結果は、計算によって次のように得られます。

∫[0→１] 1/(x²+x+1)dx ≈ 0.661 となります。

これをもって、不等式の左辺と右辺が実際に満たされることを確認できます。すなわち、0.5 ≦ 0.661 ≦ 0.693 であるため、不等式が成り立つことが示されました。

この問題では、積分式の計算とその評価を通じて、不等式が成り立つことを確認しました。積分の結果が指定された範囲に収束することを示すことで、与えられた不等式を証明できました。数学的な証明の過程で、計算の精度と論理的な構造を大切にすることが重要です。