フーリエ級数は、周期的な関数を三角関数の和として表す方法です。この問題では、半区間で与えられた関数 f(x) = x² (0 < x < L) を、全区間 (−L < x < L) に偶関数的および奇関数的に拡張した場合に、それぞれのフーリエ余弦級数とフーリエ正弦級数を求める問題です。この記事では、その解き方を解説します。
偶関数的な拡張
偶関数的に拡張する場合、f(x) = x² の関数は、x = 0 を中心に対称的に拡張されます。すなわち、f(x) は f(−x) = f(x) を満たすように定義されます。この拡張を行うことで、関数は周期的であり、全区間に渡って定義されます。
偶関数的な拡張において、フーリエ余弦級数を求める式は次のようになります。
a₀ = (1 / L) ∫₋Lˢᵘ f(x) dx
ここで、aₙの一般形は次のように表されます。
aₙ = (2 / L) ∫₋Lˢᵘ f(x) cos(nπx / L) dx
奇関数的な拡張
奇関数的に拡張する場合、f(x) = x² の関数は、x = 0 を中心に反対称的に拡張されます。すなわち、f(−x) = −f(x) を満たすように定義されます。この場合、関数は周期的に拡張され、全区間において定義されます。
奇関数的な拡張において、フーリエ正弦級数を求める式は次のようになります。
bₙ = (2 / L) ∫₋Lˢᵘ f(x) sin(nπx / L) dx
フーリエ級数の計算
次に、フーリエ余弦級数とフーリエ正弦級数を計算するためのステップを見ていきます。偶関数的および奇関数的に拡張された関数に対して、これらの級数を具体的に求める方法を理解することが重要です。
具体的な計算においては、定積分を解くことで各係数 aₙ, bₙ を求めることができます。必要な数値計算を行って、最終的にフーリエ級数を求めます。
まとめ
f(x) = x² の関数を偶関数的および奇関数的に拡張することで、それぞれのフーリエ余弦級数とフーリエ正弦級数を求めることができます。偶関数と奇関数の拡張方法により、フーリエ級数の形が変わるため、拡張方法に応じた計算を行うことが重要です。
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