線形写像の行列表現における基の変換

この問題では、線形写像f:V→Wに対して、基の変換によって行列表現がどのように変化するかを求める問題です。Vは3次元ベクトル空間、Wは5次元ベクトル空間です。基の変換により、行列の表現がどのように変更されるのかを理解することが目的です。

1. 線形写像と行列表現の基礎

線形写像fは、Vのベクトル空間からWのベクトル空間への写像です。このとき、VとWそれぞれの基が与えられており、その基における行列の表現を求める問題です。行列の表現は、線形写像が基のベクトルにどのように作用するかを行列の形で表したものです。

基を変換する場合、行列の表現も変化します。与えられた基S=｛a1,a2,a3｝とT=｛b1,b2,b3,b4,b5｝における行列Afがあるとき、新たな基S’＝｛a3,a2,a1｝およびT’＝｛b5,b4,b3,b2,b1｝における行列Af’を求めるためには、次の手順を踏む必要があります。

行列の変換には、まず基の変換行列を求め、その逆行列を用いて新しい基に対する行列を計算します。具体的には、行列AfをSからS’、TからT’に変換するための行列を次のように求めます。

Af' = P⁻¹ * Af * Q。

ここで、PはSからS’への基変換行列、QはTからT’への基変換行列です。P⁻¹はその逆行列です。

実際に基を変換する際には、まず新しい基におけるベクトルの表現を求め、次に行列Afに基変換行列を掛け算することで新しい行列Af’を得ます。この計算は、線形代数の基本的な演算であり、行列の掛け算や逆行列を理解していれば、比較的簡単に進めることができます。

線形写像における行列の基変換は、基変換行列を使って計算されます。新しい基に対する行列の求め方は、基の変換を理解し、行列の掛け算を用いることで、比較的簡単に導くことができます。この問題では、基の順番を変えたときに行列がどのように変化するのかを理解することが重要です。