三角関数の合成や差の公式を使って、sin(α – β) や cos(α + β) を求める方法を解説します。問題では、0 < α < π/2 と π/2 < β < π の範囲で、sinα = 2/3 と sinβ = 4/5 が与えられています。この条件をもとに計算を進めていきます。
sin(α – β) の計算
sin(α – β) を求めるには、三角関数の差の公式を使用します。差の公式は次のようになります。
sin(α – β) = sinα cosβ – cosα sinβ
ここで、sinα = 2/3 と sinβ = 4/5 が与えられていますので、まず cosα と cosβ を求める必要があります。
cosα と cosβ はそれぞれ、次のようにピタゴラスの定理を使って求められます。
- cosα = √(1 – sin²α) = √(1 – (2/3)²) = √(1 – 4/9) = √(5/9) = √5 / 3
- cosβ = √(1 – sin²β) = √(1 – (4/5)²) = √(1 – 16/25) = √(9/25) = 3 / 5
これで、sinα, cosα, sinβ, cosβ が全て求まりました。次に、差の公式に代入します。
sin(α – β) = (2/3) × (3/5) – (√5 / 3) × (4/5)
計算すると。
sin(α – β) = (6/15) – (4√5 / 15) = (6 – 4√5) / 15
cos(α + β) の計算
次に、cos(α + β) を求めます。cos(α + β) は、三角関数の加法定理を使って計算します。加法定理は次のようになります。
cos(α + β) = cosα cosβ – sinα sinβ
先ほど求めた値を代入します。
cos(α + β) = (√5 / 3) × (3 / 5) – (2 / 3) × (4 / 5)
計算すると。
cos(α + β) = (3√5 / 15) – (8 / 15) = (3√5 – 8) / 15
まとめ
sin(α – β) と cos(α + β) の値はそれぞれ、次のように求めることができました。
- sin(α – β) = (6 – 4√5) / 15
- cos(α + β) = (3√5 – 8) / 15
これらの計算を通じて、三角関数の合成や差の公式を活用する方法を理解することができました。次回の問題にもこの方法を活用して解いてみてください。
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