一次不定方程式は、整数解を求めるための問題であり、特に整数論やディオファントス方程式で重要な役割を持ちます。この記事では、いくつかの具体例を使って一次不定方程式の整数解の求め方を解説します。
一次不定方程式とは？
一次不定方程式は、整数解を持つ一次の方程式です。例えば、ax + by = cのような形で表される方程式の整数解を求める問題が典型的です。ここで、a, b, cは整数であり、xとyはその整数解です。
このような方程式の解法には、ユークリッドの互除法や拡張ユークリッドアルゴリズムがよく使われます。
問題1: 4x + 9y = 1 の解法
まず、4x + 9y = 1という方程式を考えます。これは整数解が存在するかどうかを確認するために、4と9の最大公約数（gcd）を求めます。ユークリッドの互除法を使ってgcd(4, 9) = 1であることがわかります。このため、この方程式には整数解が存在します。
次に、拡張ユークリッドアルゴリズムを使って、解を求めます。
問題2: 11x – 7y = 1 の解法
次に、11x – 7y = 1という方程式です。この場合も、まずは11と7の最大公約数を求め、gcd(11, 7) = 1となることを確認します。
その後、拡張ユークリッドアルゴリズムを用いて、xとyの値を求めます。この方程式も整数解を持つので、求めることができます。
問題3: 13x + 9y = 4 の解法
最後に、13x + 9y = 4という方程式を解きます。この場合も、まず13と9の最大公約数を求めます。gcd(13, 9) = 1であるため、整数解が存在します。
拡張ユークリッドアルゴリズムを使って、解を求めます。特に、右辺が4であるため、倍数を使って解を見つける必要があります。
まとめ
一次不定方程式を解くためには、まず最大公約数を求め、解が存在するかどうかを確認します。次に、拡張ユークリッドアルゴリズムを使って解を求めます。今回の問題では、全ての方程式に整数解が存在し、解を求める方法を学びました。
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