「x^5 = 1」の解に関して、練習問題で登場する「±が3つあるが、1つ目と3つ目は同じ符号を選ぶ」という部分が分からないという質問がありました。この疑問について、なぜ1つ目と3つ目は同じ符号を選ぶ必要があるのか、詳しく解説します。
x^5 = 1 の解とは？
「x^5 = 1」は複素数の問題です。この式の解を求めるためには、複素数平面上での「n乗根」の考え方を使います。特に、1の5乗根を求める問題であり、複素数の極形式を利用して解を求めることができます。
1の5乗根には、5つの異なる解があり、これらは複素数平面上で均等に分布する5つの点です。これらの解は、全て「1」の回転対称的な位置にあります。
「±が3つある」とはどういう意味か？
「±が3つある」というのは、x^5 = 1 の解を求める際に登場する複素数の角度の選び方に関係しています。1の5乗根は、複素数平面上の5つの点として表され、それぞれの解は異なる角度で表現されます。
「±」は、解の角度における符号の選び方に関わり、ある解を得るために2つの角度が考慮されます。このため、±を使って複数の解を表現します。
1つ目と3つ目の符号が同じ理由
1つ目と3つ目の解が同じ符号を選ぶ理由は、1の5乗根を計算する際に、その解が複素数平面上で等間隔で分布しているからです。これにより、解の間隔が均等に保たれるため、1つ目と3つ目の解が同じ符号を持つ必要があります。
具体的には、解の角度は一定の間隔で分かれており、1つ目と3つ目は、角度の選び方が同じ範囲に収束するためです。この結果、符号が一致する形になります。
解法の理解とポイント
複素数のn乗根を求める問題では、解の間隔や符号の選び方が重要です。x^5 = 1の解の場合、解が複素数平面上に均等に配置されており、その関係を理解することが解法の鍵となります。
具体的な解法としては、まず複素数の極形式を用いて解を求め、その後で各解の符号や角度の関係を理解することが大切です。
まとめ
「x^5 = 1」の解について、1つ目と3つ目の解が同じ符号を選ぶ理由は、複素数のn乗根が複素数平面上で均等に分布するからです。解の間隔や角度の選び方が理解できると、この問題をより深く理解することができます。漸進的に理解を深めていくことで、複素数の問題に強くなれるでしょう。
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