ルベーグ積分における区間の測度の等式の証明

ルベーグ積分における区間の測度の等式「|(a,b)| = |[a,b)| = |(a,b]| = |[a,b]|」は、リーマン積分と異なり、点の集合の測度が0であることを考慮に入れて証明されます。この命題の証明を正確に理解するために、まず測度の定義と基本的な概念を整理しましょう。

1. 測度の基本概念と1点集合の測度

ルベーグ測度において、区間の測度はその区間の長さを表します。すなわち、区間[a,b]の測度はb – aとなります。重要なことは、1点集合{a}や{b}の測度が0であることです。これは、測度論における基本的な性質であり、任意の単一点集合の測度は0です。

このことから、次に示すように、区間の端点を含まない場合と含む場合で測度に変化はないことが導かれます。

2. 区間の測度と端点の関係

次に、区間の端点が測度にどのように影響するのかを考えます。区間(a,b)と[a,b]の測度は、端点{a}と{b}の測度が0であることから、次のように等式が成り立ちます。

|(a,b)| = |[a,b]| – |{a}| – |{b}| + |{a}| + |{b}| = |[a,b]|

3. 結果としての測度の等式

このように、区間(a,b)の測度と[a,b]の測度が等しいことが示されました。さらに、(a,b)と[a,b)の測度が等しい理由も同様に考えることができます。

例えば、|[a,b)|の測度も|[a,b]|と等しく、同様に|(a,b]|も同じ測度を持つことがわかります。これにより、|[a,b)| = |(a,b)| = |(a,b]| = |[a,b]| という命題が成立します。

4. まとめ：測度の性質と証明の重要性

ルベーグ測度における区間の測度の等式「|(a,b)| = |[a,b)| = |(a,b]| = |[a,b]|」の証明は、1点集合の測度が0であることを利用して簡潔に導くことができます。この結果は、測度論における基本的な性質を理解する上で非常に重要です。積分の問題を解く際に、こうした性質を理解しておくことで、より深い解析が可能になります。