高一数学：関数y=-2x²+4x+5の最大値と最小値をとる定義域の求め方

高一数学の問題で、y=-2x²+4x+5という関数において、x=1で最大値を取り、定義域の右端で最小値を取るような定義域を求める問題について解説します。ここでは、微分を用いて最大値と最小値を取る場所を探し、適切な定義域を求める方法を詳しく説明します。

問題の設定

関数y=-2x²+4x+5が与えられています。まず、x=1で最大値を取り、定義域の右端で最小値を取るような範囲（定義域）を求めます。

まず、関数の最大値や最小値を求めるために、微分を行います。関数の導関数を求めることで、最大値や最小値がどこで発生するのかがわかります。

関数y=-2x²+4x+5の導関数を求めると、dy/dx = -4x + 4となります。これを0に等しいときのxの値（臨界点）を求めます。解くと、x=1が臨界点として得られます。

次に、2階導関数を計算して、x=1で得られる値が最大値か最小値かを判定します。2階導関数はd²y/dx² = -4です。この値は負なので、x=1で得られる値は最大値であることが確認できます。

x=1で最大値を取る場合、定義域の右端で最小値を取る必要があります。したがって、定義域はx=1以上x=2以下とすることで、最小値が定義域の右端（x=2）で得られることがわかります。

関数y=-2x²+4x+5の最大値と最小値を求める問題では、微分を用いて最大値と最小値を取る位置を特定し、その位置に応じた定義域を設定することができます。この場合、x=1以上x=2以下の範囲で最大値と最小値が正しく求められる定義域となります。