今回は、関数f(x) = 392000/x + 1/5x + 80の極値を求める問題について解説します。2階微分を利用して、関数の増減を確認し、極値を見つける方法を詳しく説明します。増減表を使って理解を深めましょう。
f(x) = 392000/x + 1/5x + 80 の微分
まず、この関数を2階微分で極値を求めるために、まず1階微分を求めます。
f'(x) = d/dx (392000/x + 1/5x + 80) となります。
1階微分を計算すると、次のようになります。
f'(x) = -392000/x^2 + 1/5
2階微分を求める
次に、1階微分をさらに微分して2階微分を求めます。
f”(x) = d/dx (-392000/x^2 + 1/5)
2階微分の計算結果は次のようになります。
f”(x) = 784000/x^3
増減表の作成
増減表を作成するためには、まず1階微分f'(x)が0となる点を求めます。
f'(x) = 0となるのは、-392000/x^2 + 1/5 = 0のときです。
これを解くと、x = ±√(392000*5)となり、x = ±280.43となります。
次に、f”(x)の符号を確認し、増減表を作成します。
f”(x) = 784000/x^3の符号に注目し、x > 0ではf”(x) > 0となり、x < 0ではf''(x) < 0となります。これにより、x = 280.43で極小値、x = -280.43で極大値が得られることがわかります。
まとめ
今回は、関数f(x) = 392000/x + 1/5x + 80の極値を2階微分を用いて求めました。増減表を使うことで、関数の増減を視覚的に理解し、極値がどこにあるのかを明確にすることができました。これにより、関数の挙動をしっかりと把握することができます。
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