体の準同型とGal(Q)の同型についての解説

体の準同型についての質問で、特にGal(Q(√(1+√2), √-1)/Q)の元として、(1234)(a_1,a_2,a_3,a_4)の置換が無矛盾に定義されることを示す問題に関して解説します。この問題では、代数体の拡大とガロア群に関する基本的な理論を理解することが重要です。

1. 問題設定の整理

まず、与えられた式から始めます。体Qは、有理数体を指し、a_1, a_2, a_3, a_4はそれぞれ次のように定義されています。

これらのa_1, a_2, a_3, a_4は、ある意味でガロア群の作用によって変換されるべき対象であり、与えられた置換(1234)がその変換を適切に表すかどうかを示す必要があります。

Gal(Q(√(1+√2), √-1)/Q)は、Q(√(1+√2), √-1)という体のQに対するガロア群です。この群は、この体の自同型群であり、特にa_1, a_2, a_3, a_4の間にどのような作用があるかを調べます。

ガロア群の元は、体の拡大に対する自同型を表します。ここでの自同型とは、Qを固定したまま、√(1+√2)や√-1などの元素を変換する写像です。

(1234)という置換が無矛盾に定義されるためには、まずその作用がQの元素に影響を与えないことを確認する必要があります。これは、置換がQを固定したままで、指定された元素a_1, a_2, a_3, a_4の間で循環的に作用することを意味します。

例えば、a_1をa_2に、a_2をa_3に、a_3をa_4に、そしてa_4をa_1に対応させるような自同型が成立することが求められます。

この自同型が無矛盾に定義されるために確認すべき条件は、次のような点です。

これらを確認することで、(1234)が無矛盾に定義されることを確かめることができます。

体の準同型の問題は、特にガロア群やその元による自同型の作用を理解することで解決できます。a_1, a_2, a_3, a_4の間での置換が無矛盾に定義されるためには、その置換がQを固定したまま、与えられた元素間で適切に作用することが求められます。以上の確認作業を通じて、この問題が解決されます。