数Ⅲ: 逆関数の求め方とグラフの描き方—y=f(x) の逆関数を求める方法

数Ⅲの問題で、y=f(x) の逆関数 y=f^-1(x) を求め、そのグラフを描く方法について解説します。具体的には、(1) y = 1/2x + 2 (−2 ≤ x ≤ 2) と (2) y = √6 − 3x の逆関数を求め、それぞれのグラフを描きます。

逆関数の定義と求め方

逆関数は、元の関数 y = f(x) の入力と出力を逆転させたものです。y=f(x) の逆関数を求めるためには、次の手順を踏みます。

まず、y = 1/2x + 2 の逆関数を求めます。まず、y を x について解きます。

y = 1/2x + 2

1. y − 2 = 1/2x

2. x = 2(y − 2)

したがって、逆関数は f^-1(x) = 2(x − 2) となります。

次に、この逆関数のグラフを描くために、元の関数 y = 1/2x + 2 と逆関数 y = 2(x − 2) を同じ座標上に描くことで、反転の関係を視覚的に確認できます。

次に、y = √6 − 3x の逆関数を求めます。同様に、y を x について解きます。

y = √6 − 3x

1. y − √6 = −3x

2. x = (√6 − y) / 3

したがって、逆関数は f^-1(x) = (√6 − x) / 3 となります。

この逆関数のグラフを描くには、y = √6 − 3x と f^-1(x) = (√6 − x) / 3 を同じ座標軸に描き、元の関数と逆関数の関係を視覚的に確認できます。

逆関数のグラフは、元の関数のグラフを反転させたものです。x軸とy軸を入れ替えたときに得られる対称性を確認しながら、元の関数と逆関数のグラフを描くことができます。

グラフを描く際には、関数の定義域に注意して、適切な範囲で点をプロットすることが重要です。例えば、y = 1/2x + 2 の場合、x = −2 から x = 2 の範囲で描きます。

逆関数を求める方法は、元の関数の式を x について解き、x と y を入れ替えることです。具体的な例として、y = 1/2x + 2 と y = √6 − 3x の逆関数を求めました。逆関数のグラフは、元の関数を反転させたものとして描くことができ、視覚的に理解することができます。