xy + (x+1)(y+1)(xy+1) の因数分解を解説

数学の因数分解は、式をできるだけ簡単な形に分解する作業です。今回取り上げる式「xy + (x+1)(y+1)(xy+1)」の因数分解をステップごとに解説します。まずは、この式の構造を理解し、順を追って解いていきましょう。

1. 式の展開

まず最初に、この式を展開してみましょう。展開とは、括弧を外して式を整理する作業です。まず、(x+1)(y+1)(xy+1) の部分を順に展開していきます。

(x+1)(y+1) をまず展開します。これにより、(x+1)(y+1) = xy + x + y + 1 となります。次に、この式に (xy+1) を掛け算していきます。

2. 展開した式を整理する

次に、(xy + x + y + 1) と (xy + 1) を掛け算します。まずは、各項を順に掛けていきましょう。

(xy + x + y + 1)(xy + 1) を展開すると、xy(xy+1) + x(xy+1) + y(xy+1) + 1(xy+1) となり、これをさらに展開すると、xy^2 + x^2y + x^2 + xy + y^2 + y + xy + 1 となります。これを整理すると、xy^2 + x^2y + x^2 + 2xy + y^2 + y + 1 という式が得られます。

3. 元の式との合成

元々の式は、xy + (x+1)(y+1)(xy+1) でした。ここに先程展開した結果を加えます。

xy + (xy^2 + x^2y + x^2 + 2xy + y^2 + y + 1) となり、これを整理すると、xy + xy^2 + x^2y + x^2 + 2xy + y^2 + y + 1 という式になります。

4. 因数分解への道

次に、この式を因数分解するために、共通項を探してグループ化していきます。

まず、xy を含む項を一つのグループにまとめると、xy(1 + x + y) になります。他の項も同様に整理し、最終的に因数分解を行います。

5. まとめ

式「xy + (x+1)(y+1)(xy+1)」は、展開して整理することで因数分解が可能な形に変形できます。重要なのは、各項の展開と整理の過程を丁寧に行い、共通項を見つけることです。このように、因数分解の手順を理解し、練習を重ねることで、さまざまな数学の問題を解く力がつきます。