lim[x→∞](1+3/x+5/x^2)^-xを解く方法と解説

数学の問題「lim[x→∞](1+3/x+5/x^2)^-x」を解く方法について解説します。答えがe^-3である理由を詳しく説明しますので、ぜひ理解を深めましょう。

1. 問題の理解と式の確認

問題は、無限大に向かう x に対して次の極限を求めるものです：lim[x→∞](1+3/x+5/x^2)^-x。この問題では、指数関数と無限大が絡んでおり、特別な取り扱いが必要です。

xが無限大に近づくとき、分母が大きくなり、分数は0に近づきます。具体的には、3/x と 5/x^2 はそれぞれ0に収束します。したがって、1+3/x+5/x^2 はほぼ1になります。

式 (1 + 3/x + 5/x^2)^-x を理解するためには、指数関数の限界に関する基本的な知識を活用します。まず、1+3/x+5/x^2 の値が1に近づくにつれて、この式は e の形に変形されます。具体的には、この形が e の負の指数関数であることを使って計算を進めます。

具体的に計算を進めると、式は e^-3 に収束することが確認できます。指数の -3 は、式の指数部である -x と、極限が無限大に向かうときの挙動から導かれます。

この問題では、指数関数と無限大に関する基本的な概念を利用して、最終的に e^-3 という答えを得ることができました。無限大に向かう式の取り扱いや、指数関数の限界について理解を深める良い練習問題です。