合同式の解法：5x ≡ 9 (mod 13) の正しい解法を理解しよう

合同式は数論において非常に重要なトピックです。特に、未知数を求める問題でしばしば登場します。ここでは、「5x ≡ 9 (mod 13)」という合同式を解く方法について解説します。自分と友達が異なる解答を導いた場合、どちらが正しいのか、その過程を一緒に確認していきましょう。

1. 合同式の基礎理解

合同式とは、ある整数の間での同等性を示す式です。例えば、「a ≡ b (mod m)」という式は、aとbがmで割った余りが等しいことを意味します。これを解く方法として、乗法逆元を使った方法がよく用いられます。

問題は「5x ≡ 9 (mod 13)」です。まず、この式を解くために、5の逆元を13の範囲内で見つける必要があります。5と13は互いに素な関係にあるので、逆元を求めることができます。

逆元を求めるためには、拡張ユークリッドの算法を使いますが、ここでは簡単に言うと、5に何を掛けると13で割った余りが1になるかを求めることです。計算の結果、5の逆元は8であることがわかります。

逆元がわかったので、5x ≡ 9 (mod 13) を両辺に8を掛けて、xを求めます。式は以下のようになります。

8 * 5x ≡ 8 * 9 (mod 13)

この計算を行うと、x ≡ 72 (mod 13) となり、72を13で割った余りは7となるため、最終的な解はx ≡ 7 (mod 13) です。

友達の解答「x = 45 + 12t (t ∈ Z)」は、一般的な整数解の形です。この解答は、x ≡ 7 (mod 13) の解を整数tを用いて一般化したものです。確かに、この解法は正しいですが、問題の答えとしてはx ≡ 7 (mod 13)が最も簡潔で標準的な形式です。

最終的に、「x ≡ 7 (mod 13)」が正解です。友達の答えも正しいですが、問題に求められている形に合わせると、「x ≡ 7 (mod 13)」が最適な解答となります。合同式の解法では、できるだけ簡潔な解を求めることが重要です。