高校数学B：等差数列の群分け問題の解説と解法

高校数学Bの問題で、等差数列を群に分けていく問題について解説します。この問題では、第3項が1で、初項から第8項までの和が-10の等差数列を使って、第8群の最初の数や-5000以下の数が初めて現れる項を求めます。

問題の設定と等差数列の基本

問題では、初項から第8項までの和が-10であり、第3項が1の等差数列が与えられています。この数列を群に分けるためには、まず等差数列の基本的な公式を使って、数列の項を求める必要があります。等差数列のn項目は、一般的にa_n = a_1 + (n-1)dの式で表されます。

等差数列の初項と公差の求め方

与えられた情報から、初項a_1と公差dを求めます。まず、a_3 = 1が与えられているので、a_3 = a_1 + 2d = 1の式を得られます。また、初項から第8項までの和が-10という情報を使って、和の公式を使います。和の公式S_n = n/2 * (2a_1 + (n-1)d)を適用し、計算を進めると、a_1とdが求まります。

第8群の最初の数の求め方

第k群に2^k個の数が入るという条件を使って、群ごとに項を分けていきます。第8群の最初の数は、これまでに出てきた項数の合計を計算し、その次の項を見つけることで求められます。具体的な計算を行うと、第8群の最初の数は-377であることがわかります。

-5000以下の数が初めて現れる項の計算

-5000以下の数が初めて現れる項を求めるには、数列の一般項を使ってその値を求めます。a_n = a_1 + (n-1)dという式に代入し、-5000になるnの値を求めると、-5000以下の数が初めて現れるのは第11項であることがわかります。

まとめ

この問題では、等差数列の基本的な公式を使って、群分けと項の計算を行いました。第8群の最初の数は-377、第11項で-5000以下の数が初めて現れることがわかりました。等差数列の計算と群分けの方法を理解することで、同様の問題に対応できるようになります。