大学数学：線形代数におけるrankA = rankABの成り立ちの証明

大学数学の線形代数における問題で、行列Aがm×n行列、行列Bがn×nの正則行列であるとき、rankA = rankABが成り立つことを証明します。この問題では、行列のランクに関する基本的な理論と正則行列の特性を理解することが重要です。

① rankと正則行列の基本概念

まず、rankAとは、行列Aのランクであり、Aが持つ線形独立な行ベクトル（または列ベクトル）の最大数を示します。正則行列Bは、逆行列B^-1が存在する行列で、行列Bが全ての列ベクトルが線形独立であることを意味します。

問題では、行列AとBが与えられたときに、rankAとrankABが等しいことを示す必要があります。まず、行列Bが正則行列であるため、Bは列ベクトルの線形独立性を保持します。すなわち、Bの作用はAのランクに影響を与えません。

行列Bが正則であれば、行列Bを左または右に掛け算してもAのランクは変わらないため、rankA = rankABが成り立ちます。具体的には、Bの逆行列B^-1を掛けることで、Bの影響を取り除くことができ、AのランクとABのランクが一致することがわかります。

1. Aのランクは、Aの列ベクトルの線形独立性に依存します。

2. 行列Bが正則であれば、Bの列ベクトルも線形独立であるため、Bの掛け算はAの列ベクトルの線形独立性を変えません。

3. したがって、ABのランクはAのランクと一致します。

以上より、行列AとBが与えられたとき、Bが正則であれば、rankA = rankABが成り立つことが確認できました。この結果は、行列のランクを計算する際に、正則行列の作用を考慮する際に役立ちます。

rankA = rankABが成り立つ理由は、行列Bが正則であり、BがAの列ベクトルの線形独立性に影響を与えないためです。このような理論は、線形代数の基礎的な理解に役立ちます。正則行列の特性を活かして、さらに複雑な行列演算にも応用できます。