数学の展開問題: (x+2)³ + (x-2)³ の計算方法

「(x+2)³ + (x-2)³ を計算すると ax³ + bx² + cx + d となる。このとき、a + b + c + d の値を求めなさい」という問題について解説します。

1. 式の展開を理解する

まず、問題の式を展開していきます。式は、(x + 2)³ と (x – 2)³ という2つの立方体の和です。これらを順番に展開することで、ax³ + bx² + cx + d という形式にすることができます。

(x + 2)³ を展開するには、(a + b)³ の展開公式を使います。展開公式は、(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ です。これを使うと、(x + 2)³ は以下のように展開できます。

(x + 2)³ = x³ + 3x²(2) + 3x(2²) + 2³ = x³ + 6x² + 12x + 8

同様に、(x – 2)³ も展開します。展開公式を使うと、(x – 2)³ は次のように計算できます。

(x – 2)³ = x³ – 3x²(2) + 3x(2²) – 2³ = x³ – 6x² + 12x – 8

次に、(x + 2)³ と (x – 2)³ を足し合わせます。

(x + 2)³ + (x – 2)³ = (x³ + 6x² + 12x + 8) + (x³ – 6x² + 12x – 8)

これを整理すると、次のようになります。

2x³ + 24x

最終的に、a + b + c + d の値を求めるために、2x³ + 24x を比較します。ax³ + bx² + cx + d という形式で表すと、a = 2, b = 0, c = 24, d = 0 となります。

a + b + c + d = 2 + 0 + 24 + 0 = 26 です。

(x + 2)³ + (x – 2)³ の計算を展開していくことで、a + b + c + d の値は26となります。問題を解くためには展開の仕方をしっかりと理解し、式を整理していくことが重要です。