白球と赤球の袋から2個の球を取り出す確率分布と期待値、分散の計算

この問題では、白球2個と赤球3個が入った袋から2個の球を取り出す際に、取り出した球に含まれる白球の個数Xに関する確率分布、期待値E[X]、そして分散V[X]を求めます。以下でそれぞれの計算方法を詳しく解説します。

(1) Xの確率分布表

まず、取り出す球の組み合わせを考え、白球が含まれるケースに注目します。袋の中には白球が2個、赤球が3個ありますので、2個の球を取り出す場合、考えられる組み合わせは次の3通りです。

この場合、確率分布は次のようになります。

期待値E[X]は、確率変数Xの値とその確率の積の総和で求められます。具体的には次の式を使用します。

E[X] = Σ (X × P(X))

これを確率分布表に基づいて計算すると。

E[X] = (0 × 3/10) + (1 × 6/10) + (2 × 1/10) = 0 + 6/10 + 2/10 = 8/10 = 0.8

分散V[X]は、次の式で求められます。

V[X] = E[X^2] – (E[X])^2

まず、E[X^2]を計算します。

E[X^2] = (0^2 × 3/10) + (1^2 × 6/10) + (2^2 × 1/10) = 0 + 6/10 + 4/10 = 10/10 = 1

次に、(E[X])^2を計算します。

(E[X])^2 = (0.8)^2 = 0.64

したがって、分散V[X]は。

V[X] = 1 – 0.64 = 0.36

この問題では、白球と赤球が入った袋から2個の球を取り出すときに、白球が含まれる個数Xの確率分布、期待値E[X]、および分散V[X]を求めました。計算結果は以下の通りです。

このように、確率分布表と期待値、分散の計算を通じて、確率変数の性質を理解することができます。