P(x) = x³ + 3x² - 16x - 48の因数分解方法：x-3とx+4の因数性を確認しよう

高校数学で出てくる因数分解の問題について解説します。問題は次の式におけるx-3とx+4が因数であるかどうかを確認するというものです。

P(x) = x³ + 3x² – 16x – 48

① 因数分解とは？

因数分解は、多項式を2つ以上の因数に分ける操作です。例えば、x³ + 3x² – 16x – 48を因数に分ける方法を見ていきましょう。

因数がx-3またはx+4かどうかを調べるためには、代入法や合成法を使って確認することができます。

まずは、x-3が因数であるかを調べます。因数定理に従い、x = 3を代入してP(x)が0になるかどうかを確認します。

P(3) = 3³ + 3(3²) – 16(3) – 48 = 27 + 27 – 48 – 48 = 0

このように、P(3)が0になるため、x-3はP(x)の因数です。

次に、x+4が因数であるかを確認します。同じように、x = -4を代入してP(x)が0になるか確認します。

P(-4) = (-4)³ + 3(-4)² – 16(-4) – 48 = -64 + 48 + 64 – 48 = 0

このように、P(-4)も0になるので、x+4もP(x)の因数です。

上記の結果から、x-3とx+4はそれぞれP(x)の因数であることが確認できました。したがって、P(x)は次のように因数分解できます。

P(x) = (x – 3)(x + 4)(x + 4)

この問題を通じて、因数分解の基本的な方法である代入法や因数定理を使って、与えられた多項式が特定の因数を持つかどうかを確認する方法を学びました。計算手順を確実に理解し、次回の問題にも役立ててください。