数列の和と一般項の求め方: 数Bの問題解説

この問題では、数列の和が与えられており、その和を基に一般項を求め、さらに特定の項の和を求める問題です。まずは(1)の一般項の求め方、次に(2)の和の求め方を解説します。

(1) 一般項anを求めよ

数列の和SₙがSₙ = 3n² + 4n + 2で与えられているので、一般項anを求めるために、SₙとSₙ₋₁の差を取ります。

一般項anは、Sₙ – Sₙ₋₁として計算できます。Sₙ = 3n² + 4n + 2 ですので、Sₙ₋₁を求めると、Sₙ₋₁ = 3(n-1)² + 4(n-1) + 2 になります。この式を展開してから、Sₙ – Sₙ₋₁を引きます。

計算を進めると、an = 6n + 2 となります。これが一般項です。

(2)では、特定の項の和を求める必要があります。a1, a4, a7, …, a3n-2という形の項の和です。

この項の和は、an = 6n + 2 の一般項を使って計算できます。項を整理して、a1, a4, a7, … の形に対応する項を求め、これをn回繰り返します。

具体的には、a1から始めて、a4, a7, … と進んでいき、これらの項を足し合わせます。計算すると、最終的に和は 9n² – 2n + 2 になります。

この問題では、まず与えられた数列の和から一般項anを求め、その後特定の項の和を求めました。(1)ではSₙ – Sₙ₋₁の差を使って一般項anを求め、(2)ではその一般項を使って特定の項の和を計算しました。最終的に、求められる和は 9n² – 2n + 2 です。