確率変数 X^2 の確率密度関数の求め方

確率変数 X の確率密度関数 f(x) が与えられたとき、確率変数 X^2 の確率密度関数を求める方法について解説します。これには変数変換を利用した手法が有効です。X^2 の確率密度関数を求めるためには、まず X の確率密度関数 f(x) を理解し、適切な変換を行う必要があります。

確率変数の変換と確率密度関数

確率変数 X から新しい確率変数 Y = X^2 を定義すると、Y の確率密度関数 f_Y(y) を求めることができます。確率密度関数の変換には、変数変換の公式を使います。確率密度関数の変換において重要なのは、変換後の確率変数の値に対応する確率密度がどのように変化するかを把握することです。

変数変換の公式に従い、確率変数 Y = X^2 の確率密度関数 f_Y(y) は次のように表されます。

f_Y(y) = Σ | dx/dy | * f(x), ただし、x = ±√y となるので、f_Y(y) は次のように表せます。

例えば、X が一様分布に従う場合、X の確率密度関数 f(x) は区間 [a, b] で定義されます。このとき、X^2 の確率密度関数 f_Y(y) を求めるために、変数変換公式を適用します。具体的に計算することで、得られる確率密度関数がどのように形を変えるのかを理解することができます。

確率変数 X から X^2 に変換する際、変数変換の公式を適用して、新しい確率密度関数 f_Y(y) を求めます。変換後の確率密度関数は元の f(x) に依存しており、適切な計算を通じて求めることができます。この方法を理解することで、さまざまな確率変数の変換問題を解くことができるようになります。