この問題は、連続関数に関する問題で、f と g が定義された範囲の中で、s < t の条件で f(s) = g(t) = a となる s と t が存在する場合、ある点 c において f(c) = g(c) となることを示す問題です。連続関数の性質を利用して、どのように解くかを解説します。
問題の設定と条件
まず、問題文から与えられた条件を整理しましょう。f と g は ℝ から [a, ∞) への連続関数で、s < t の条件下で f(s) = g(t) = a となる s と t が存在するとしています。この条件下で、f(c) = g(c) となる c が存在することを示す必要があります。
f と g が連続関数であり、値域が [a, ∞) であることから、連続関数の性質を利用することがポイントになります。
連続関数の性質
連続関数に関する重要な性質は、「連続関数の介在定理（中間値定理）」です。中間値定理によれば、連続関数が区間の端点で異なる値を取るとき、その間の任意の値を取る点がその区間内に存在するというものです。
この定理を利用すると、f と g の関数が連続であり、指定された条件が満たされるとき、必ずある点で f と g が同じ値を取ることがわかります。
解法のアプローチ
この問題を解くために、まず f と g の関数の性質に着目します。s < t の条件で f(s) = g(t) = a となるとき、f と g の間に交点が存在することを示すためには、連続性を利用して中間値定理を適用することが有効です。
f と g の関数が [a, ∞) の範囲で連続であり、s と t の間において f と g が異なる値を取る場合、その間で交点が必ず存在します。このため、f(c) = g(c) となる c が存在することが保証されます。
具体的な手順
1. まず、s < t の条件で f(s) = g(t) = a である点 s と t を考えます。
2. 次に、f と g が連続関数であることを利用し、区間 [s, t] における f と g の値の変化を追います。
3. 中間値定理を適用して、f と g の間に必ず交点 c が存在することを示します。
まとめ
この問題は、連続関数の性質を利用して解くことができる問題です。中間値定理を活用することで、f(s) = g(t) = a となる点 s と t の間に、f(c) = g(c) となる点 c が必ず存在することが示されます。
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