連続する奇数の積に1を加えると偶数の二乗になる理由と証明方法

中学3年生の数学における文字の証明で、連続する奇数の積に1を加えると、その間にある偶数の二乗になるという問題について、具体的にどのように証明するかを解説します。

連続する奇数の表現と式の設定

まず、連続する2つの奇数を、2n+1 と 2n+3 という形で表現します。この2つの数の積に1を加えると、どのような結果になるかを見ていきます。

連続する2つの奇数の積に1を加えた式は次のようになります。
(2n+1)(2n+3) + 1

まず、この式を展開します。
(2n+1)(2n+3) = 4n² + 8n + 3 となります。これに1を加えると、4n² + 8n + 4 となります。

展開した式 4n² + 8n + 4 は、(2n+2)² という形になります。ここで、(2n+2) は偶数であり、この式は偶数の二乗の形です。

つまり、連続する奇数の積に1を加えると、偶数の二乗になることが分かります。

この式が4の倍数になるのは、(2n+2)² の形であるためです。偶数の二乗は必ず4の倍数になります。したがって、偶数の二乗という結果は、必ず4で割り切れる数になります。

連続する2つの奇数の積に1を加えると、偶数の二乗の形になるということが証明されました。この証明を通じて、式の展開や偶数の二乗に関する理解を深めることができます。