集合の部分集合に関する証明：XがYの部分集合ならば、Xの部分集合全体の集合はYの部分集合全体の集合の部分集合である

この問題では、「XがYの部分集合ならば、Xの部分集合全体の集合はYの部分集合全体の集合の部分集合である」という命題の証明方法を求めています。集合論における部分集合の関係性を理解し、この命題をどのように証明するかを見ていきましょう。

部分集合の定義と命題の理解

まず、部分集合について簡単に復習しましょう。集合Aが集合Bの部分集合であるとは、Aのすべての要素がBに含まれている場合を指します。記号で表すと、A ⊆ B となります。

問題文では、X ⊆ Y であると仮定しています。つまり、Xのすべての要素はYに含まれているということです。そして、Xの部分集合全体の集合は、Xを構成するすべての部分集合を集めた集合であり、同様にYの部分集合全体の集合はYを構成するすべての部分集合を集めた集合です。

証明の準備：集合の要素としての部分集合

証明するべき命題は、「Xの部分集合全体の集合がYの部分集合全体の集合の部分集合である」というものです。この命題を証明するためには、Xの部分集合がYの部分集合であることを示さなければなりません。

Xの部分集合全体の集合をA、Yの部分集合全体の集合をBとした場合、Aのすべての要素がBに含まれることを示す必要があります。すなわち、Aの任意の要素がBに含まれることを証明します。

証明の実行

X ⊆ Y であると仮定したとき、Xの任意の部分集合はYの部分集合であることが分かります。なぜなら、Xの要素はすべてYに含まれているため、Xの部分集合もYの部分集合であるからです。

したがって、Xの部分集合全体の集合Aは、Yの部分集合全体の集合Bの部分集合であることが確認できます。つまり、A ⊆ B となり、この命題が成り立ちます。

まとめ

「XがYの部分集合ならば、Xの部分集合全体の集合はYの部分集合全体の集合の部分集合である」という命題は、部分集合の定義と集合の要素としての関係性を基に証明できます。この証明では、Xの要素がYに含まれていることを利用して、Xの部分集合がYの部分集合であることを示しました。