本記事では、関数 Xlog(1－X) の n 次導関数の求め方について解説します。n は 2 以上の任意の自然数とし、このような多項式の導関数を求める際に必要となるテクニックをステップバイステップで説明します。微分を繰り返し行うことで導関数がどのように変化するかを見ていきましょう。
Xlog(1－X) の基本的な微分法則
まず、関数 Xlog(1－X) の微分を求めるために、積の微分法則を使用します。積の微分法則とは、二つの関数の積の微分が次のように求められるというものです。
(fg)’ = f’g + fg’
この法則を使用して、Xlog(1－X) の導関数を求めることができます。まずは、各項を微分していきます。
Xlog(1－X) の1次導関数の計算
関数 Xlog(1－X) の1次導関数を求めるためには、まず積の微分法則を適用します。関数 X と log(1-X) の微分をそれぞれ行うと、以下のような式が得られます。
f'(x) = log(1-x) + X * (d/dx of log(1-x))
ここで、log(1-x) の微分は -1/(1-x) となり、最終的に次のような形の導関数が得られます。
f'(x) = log(1-x) – X/(1-x)
n 次導関数の計算方法
次に、n 次導関数を求める方法について説明します。n 次導関数を求めるには、積の微分法則を繰り返し適用する必要があります。各次の微分において、log(1-x) の微分は次第に複雑になり、指数関数や多項式の組み合わせが現れます。
具体的には、2 次、3 次導関数を求める過程で、さらに微分を進めていきます。微分を繰り返すごとに、計算の式はどんどん長くなりますが、基本的な法則は同じです。
計算例と実践
ここでは具体的な計算例を見てみましょう。例えば、関数 Xlog(1－X) に対して、n=2 の場合の導関数を求めるとします。
まず、1 次導関数は log(1-X) – X/(1-X) であり、これをさらに微分すると、2 次導関数が得られます。これをさらに計算していくと、徐々に複雑な式になりますが、手順に従って一歩一歩計算していきます。
まとめ
この記事では、関数 Xlog(1－X) の n 次導関数を求める方法について解説しました。まずは積の微分法則を用いて導関数を計算し、n 次導関数を求めるプロセスを実際の例を交えて説明しました。微分の計算は繰り返し適用することで確実に進められますので、基本的な法則をしっかりと理解して計算を行いましょう。
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