数学B 漸化式の問題解説：数列{a[n]}の一般項を求める方法

この問題は、漸化式を使って定義された数列{a[n]}の一般項を求める問題です。具体的には、a[1]=2、a[n+1]=3a[n]-2という漸化式によって定義される数列が与えられています。この記事では、この数列の一般項を求めるために必要な手順と、等比数列を利用した解法を詳しく解説します。

問題の整理と解法のアプローチ

与えられた漸化式 a[1] = 2, a[n+1] = 3a[n] – 2 に基づき、数列{a[n]}の一般項を求めます。この問題では、2つの方法で解法を進めることができます。

まずは、漸化式の解法と等比数列の特性を利用して問題を解いていきます。

まず、数列{a[n]}が等比数列であることを示します。等比数列とは、隣接する項の比が一定である数列です。数列{a[n]}において、a[n+1] = 3a[n] – 2という形が与えられています。

ここで、まず数列{a[n]}の1番目の項を a[1] = 2 と設定し、漸化式に従って次の項を求めます。最初の数値を求めた後、数列の一般項を導きます。

次に、階差数列{a[n+1] – a[n]}を使った解法について説明します。階差数列とは、隣接する項同士の差を取った数列です。漸化式を使うことで、数列{a[n+1] – a[n]}が等比数列になることが分かります。

この階差数列の初項と公比を求めることで、数列{a[n]}の一般項にたどり着けます。

次に、漸化式と等比数列の性質を使って、数列{a[n]}の一般項を求めます。まず、a[1] = 2 から数列の初項を確認し、その後、漸化式を使って各項の関係式を求めます。

数列{a[n]}の一般項は次のように表されます。

a[n] = 3^(n-1) + 1

この式は、数列{a[n]}の項が指数関数的に増加し、最初の項から1を加えた形になります。

今回の問題では、漸化式を使って数列{a[n]}の一般項を求める方法を解説しました。漸化式 a[n+1] = 3a[n] – 2 を使い、等比数列の性質と階差数列を活用することで、数列の一般項を求めることができました。この解法を使うことで、数学Bの漸化式の問題を効率よく解くことができます。