確率変数Xの確率密度関数f(x)が与えられたときに、指定された範囲内での確率を求める方法について解説します。この記事では、問題集の136番に出てくる具体的な問題を例に、確率密度関数を使って確率を求める手順を分かりやすく説明します。
確率密度関数f(x)の理解
確率密度関数（PDF）f(x)は、確率変数Xが特定の値を取る確率を示すための関数です。問題文にあるように、f(x) = 1/2x （0 ≦ x ≦ 2）という式が与えられています。この関数は、確率変数Xが0から2の範囲で定義されており、その範囲内での確率を求めることになります。
確率密度関数において、確率P(a ≦ X ≦ b)を求めるには、f(x)を区間[a, b]で積分する必要があります。これにより、その範囲内でのXの確率が得られます。
指定された確率を求める方法
与えられた問題では、次の2つの確率を求める必要があります。
- P(0.3 ≦ X ≦ 0.7)
- P(0.4 ≦ X ≦ 1.6)
確率を求めるためには、確率密度関数f(x)を指定された範囲で積分します。例えば、P(0.3 ≦ X ≦ 0.7)を求めるには、f(x) = 1/2xの式を0.3から0.7まで積分します。
この場合、積分式は次のようになります：
∫(0.3, 0.7) (1/2x) dx
積分の実行と計算
まず、関数f(x) = 1/2xを積分します。積分すると、次のようになります。
∫(1/2x) dx = (1/2) ln|x|
これを0.3から0.7の範囲で積分すると。
(1/2)[ln(0.7) – ln(0.3)]
これを計算すると、指定された範囲の確率が求められます。同様の手順で、P(0.4 ≦ X ≦ 1.6)も求めることができます。
グラフの役割と関係
問題の隣に示された「変な関数のグラフ」は、確率密度関数f(x)のグラフです。このグラフは、x軸に沿ってf(x)がどのように変化するかを示しています。特に右肩上がりの直線グラフは、f(x)が0から2の範囲で増加していく様子を示しており、確率の計算に直接関係しています。
このグラフを使って視覚的に確率を理解することができます。例えば、特定の区間で確率を求める際に、グラフ上でその範囲を確認し、積分を通じて確率を数値化します。
まとめ
確率密度関数を使った確率の計算は、積分を用いて求めることができます。指定された範囲内での確率を求めるためには、関数をその範囲で積分し、結果を得ることが必要です。問題に示されたグラフは、確率密度関数の形を示しており、視覚的に理解を深める手助けとなります。この手順を実行することで、確率を求める方法を確実に理解できるようになります。
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