aabbcdefを並べるとき、aとbを偶数番目に置く並べ方の考え方と解き方

文字列の並べ方に関する問題は、確率や組み合わせの分野で頻出です。今回は「aabbcdef」という8文字からなる文字列を並べるとき、「a」と「b」がすべて偶数番目に現れる条件での並べ方の総数を求めます。

問題の条件整理と基本の考え方

まず、文字列「aabbcdef」は文字が8つあり、その中には「a」が2つ、「b」も2つ含まれています。他の「c」「d」「e」「f」はそれぞれ1回ずつ登場します。

問題では、「a」と「b」がすべて偶数番目、つまり2・4・6・8番目にしか置かれてはいけないという制限があるため、まず偶数番目の4つの位置に「a」「a」「b」「b」を配置する方法を考えます。

偶数番目の位置は2・4・6・8の4か所。この4か所から「a」と「b」を2つずつ並べる組み合わせの数を求めます。

まず、4か所に「a」「a」「b」「b」を並べる場合、文字が重複しているので、以下の通りに計算します。

4文字の並べ方（重複あり）＝4! / (2! × 2!) = 6通り

奇数番目の位置（1・3・5・7）には「c」「d」「e」「f」の4つを並べるだけです。これらはすべて異なる文字なので、単純な順列です。

4! = 24通り

偶数位置にaとbを6通り、奇数位置に他の文字を24通りで並べることができるので、全体の並べ方は次の通りです。

6 × 24 = 144通り

たとえば、偶数位置に「a, a, b, b」を順番に置く場合（2,4,6,8番目）に、奇数位置に「c, d, e, f」を「c, d, e, f」として置いた例は以下の通りです。

c a d a e b f b

このように、偶数番目だけに「a」と「b」を配置するような並べ方は全部で144通り存在します。

「aabbcdef」の8文字を1列に並べるとき、「a」と「b」をすべて偶数番目に配置する並べ方は144通りです。このような条件付きの並べ方は、まず場所を限定して条件に合う配置数を求め、残りを通常の順列で計算することで求められます。