大学数学微積分: N次有限テイラー展開を求める方法

微積分におけるテイラー展開は、関数をその点での近似値として展開する強力な手法です。今回は、与えられた関数のx=0でのN次有限テイラー展開を求める問題について、各関数に対する展開方法を解説します。

テイラー展開とは？

テイラー展開は、関数をある点（ここではx=0）を中心に、多項式で近似する方法です。この方法では、関数の各階の導関数を使って、その関数の近似式を導出します。テイラー展開は、無限級数を用いて関数を展開しますが、N次の有限テイラー展開は、有限個の項で近似します。

まず、x^3cos(x)のx=0でのテイラー展開を求めます。cos(x)のテイラー展開は、以下のようになります。

cos(x) = 1 – x^2/2! + x^4/4! – …

この展開をx^3に掛け合わせて、x=0でのN次テイラー展開を求めます。

次に、1/(1-3x^3)のテイラー展開を求めます。この関数は、1/(1-u)のテイラー展開を利用して求めることができます。

1/(1-u) = 1 + u + u^2 + u^3 + …

ここでu = 3x^3と置き換えて展開します。

次に、1/(1-5x+6x^2)のテイラー展開を求めます。これは分母を1次および2次の項を含む式に分けて、テイラー展開を行います。

同様に、式を適切に分解して、x=0での近似を求めます。

最後に、1/(1-5x)^5のテイラー展開を求めます。この関数は、1/(1-u)^nのテイラー展開を使用します。

1/(1-u)^n = 1 + nu + n(n+1)/2! u^2 + …

ここでu = 5xとし、展開します。

以上のように、与えられた関数に対してテイラー展開を求める際には、基本的な展開式や分解法を使用し、x=0での近似を求めます。各関数において、テイラー展開の適用方法を理解することが、微積分の学習において重要です。