高校数学Iの問題で、a^3 + b^3 + c^3 – 3abc の因数分解について解説します。この式はよく見かける多項式で、因数分解の典型的な問題です。ここでは、因数分解の過程をわかりやすく説明します。
因数分解の基本公式
まず、この式を因数分解するための基本的な公式を紹介します。この式は、次のような因数分解公式を使います。
- a^3 + b^3 + c^3 – 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ca)
この公式は、「三項の立方和」の因数分解として知られています。この公式を使うことで、式を簡単に因数分解することができます。
式の因数分解の過程
与えられた式「a^3 + b^3 + c^3 – 3abc」を因数分解するための手順を以下に示します。
- 式の形を確認する：a^3 + b^3 + c^3 – 3abc の形を見て、三項の立方和の公式に似ていることを確認します。
- 公式を適用する：三項の立方和の公式を使って、a^3 + b^3 + c^3 – 3abc を (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ca) に因数分解します。
- 完成：最終的な因数分解は、(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ca) になります。
これで、a^3 + b^3 + c^3 – 3abc を簡単に因数分解できました。
因数分解の例を理解しよう
この因数分解の公式は、a, b, c に任意の数値を代入しても成り立ちます。例えば、a = 1, b = 2, c = 3 の場合、この因数分解式に数値を代入すると、次のように計算できます。
- a^3 + b^3 + c^3 – 3abc = 1^3 + 2^3 + 3^3 – 3 × 1 × 2 × 3 = 1 + 8 + 27 – 18 = 18
- (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ca) = (1 + 2 + 3)((1)^2 + (2)^2 + (3)^2 – (1)(2) – (2)(3) – (3)(1)) = 6(1 + 4 + 9 – 2 – 6 – 3) = 6 × 3 = 18
これで、因数分解の式が正しいことを確認できます。
まとめ
a^3 + b^3 + c^3 – 3abc の因数分解は、三項の立方和の公式を使うことで簡単に行うことができます。この問題を解くための基本的なステップは、公式を確認し、適用することです。因数分解を理解することで、より複雑な式にも対応できるようになります。
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