△ABCにおいて、点Pが満たす条件「AP(→)・BP(→)＝AP(→)・BA(→)」に関連する問題で、点Pの軌道が円になる理由について詳しく解説します。特に、式の展開を通じてどの時点で円が得られるかを理解することがポイントです。
問題の設定と条件
この問題では、△ABCにおいて点Pが「AP(→)・BP(→)＝AP(→)・BA(→)」を満たしながら動く場合、その軌道を求めます。この条件から、点Pが動く軌道が円であることが示唆されます。具体的には、点PがABを1:2に内分する点Dを中心として、半径|AD(→)|の円を描くという解答が得られます。
式の展開と円の発見
まず、問題の条件を式にすると、AP(→)・BP(→)＝AP(→)・BA(→) という形になります。これを展開していく過程で、点Pが描く軌道が円であることが分かります。式の中で、AP(→)とBP(→)の内積を展開する際に、点PがABを内分する位置にあることが浮き彫りになります。この内分点の位置が、最終的に円の中心となるのです。
円になる理由の理解
式を展開していく中で、点Pが描く軌道が円になる理由は、ABを1:2に内分する点Dを中心に、|AD(→)|の半径で円が描かれることにあります。ここで重要なのは、点PがABの内分点を中心に動いており、その位置が決まることで軌道が円であることが確定する点です。
具体例と応用
実際に、ABを1:2に内分する点Dを中心に半径|AD(→)|の円を描くことで、点Pの軌道が円であることが確認できます。このような問題を解く上で、内積を使った展開が重要であり、内分点を中心とする円の性質を利用することで円が得られることを理解することができます。
まとめ
この問題では、点Pが満たす条件を式にして展開することで、軌道が円であることが分かります。式の展開により、点PがABを1:2に内分する点Dを中心とする円を描くことが確認でき、この理解を深めることで他の類似の問題にも対応できるようになります。
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