数学において、平面と垂直なベクトルの条件について理解することは重要です。特に、「CH→が平面αと垂直になる条件」についての問題で、なぜ2本の1次独立なベクトルと垂直でなければならないのか、その理由をしっかりと把握しておくことが解決への第一歩です。この記事ではその背景と理論について解説します。
垂直の意味とは？平面とベクトルの関係を理解する
まず、ベクトルが平面と垂直であるということの意味を簡単におさらいしましょう。平面と垂直であるとは、ベクトルがその平面上の全てのベクトルと直交（垂直）することを指します。直交するというのは、ベクトル同士の内積がゼロになることを意味します。つまり、平面の上にあるどんなベクトルとも内積が0になるベクトルが、その平面に垂直なベクトルです。
なぜ2本の1次独立なベクトルが必要か
さて、なぜ2本の1次独立なベクトルが必要なのでしょうか？1本のベクトルだけでは平面α上の全てのベクトルを表現することができません。もし1本のベクトルだけが平面上のベクトルと直交している場合、そのベクトルは平面を完全には特定できません。1本のベクトルが平面と直交している場合、他の無限に多くのベクトルも直交することが考えられるため、平面αがどのような向きなのかが不明確になってしまいます。
そのため、2本の1次独立なベクトルを使うことで、平面を唯一に特定できるのです。1次独立な2本のベクトルがあれば、その2本のベクトルの線形結合で平面上の全てのベクトルを表現できます。これにより、平面αと垂直なベクトルが明確になります。
1本のベクトルと垂直でも平面とは垂直でない場合がある
次に、「1本と垂直でもその面とは垂直でない」という状況について考えてみましょう。仮に1本のベクトルが平面上の1本のベクトルと垂直であっても、そのベクトルが平面全体と垂直であるとは限りません。なぜなら、1本のベクトルだけでは平面全体を表現できないため、そのベクトルが平面内の一部のベクトルと直交している可能性が高いからです。
例えば、平面内の2本のベクトルが異なる向きにある場合、それぞれのベクトルと垂直なベクトルは平面に対して垂直かもしれませんが、1本のベクトルだけでは平面全体に対して垂直であることは保証されません。
実例を使った理解：2本の1次独立なベクトルの重要性
具体的な例を考えてみましょう。平面αがxy平面であるとします。この平面に垂直なベクトルは、z軸方向のベクトル、つまり(0, 0, 1)になります。しかし、もしxy平面上のベクトルとして(1, 0, 0)と(0, 1, 0)という2本のベクトルを使うと、この2本のベクトルはxy平面を構成するため、これらと直交するベクトルがz軸方向になることがわかります。
このように、2本の1次独立なベクトルが平面を構成することで、平面に垂直なベクトルが唯一に決まります。これが「2本の1次独立なベクトルと垂直になることで平面と垂直になる」という理由です。
まとめ
平面と垂直なベクトルを求める際には、1本ではなく2本の1次独立なベクトルを使うことが重要です。2本のベクトルによって平面を一意に特定し、そこから垂直なベクトルを求めることができるためです。これにより、問題が解決され、より明確に理解できるようになります。
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