高校数学の問題で、tanθ/2=1/2という条件の下でcosθ tanθ tan2θの値を求める問題について解説します。問題文で解法に関して疑問が生じた場合の理解を深めるために、複数のアプローチを比較しながら解説します。
問題の理解とアプローチ
問題は、「tan(θ/2) = 1/2」の条件下で、cosθ, tanθ, tan2θの値を求めるというものです。このような問題では、角度の二重角や半角の公式を適切に使用することが重要です。
tan(θ/2)の条件を使って半角公式を利用
まず、与えられた条件「tan(θ/2) = 1/2」を用いて、θの値を求めます。ここで重要なのは、tan(θ/2)に関する半角公式を使うことです。具体的には、半角公式を使用するとtan(θ/2)を求めた後、cosθやtanθ、tan2θの値に繋げることができます。
半角公式の利用方法
tan(θ/2) = 1/2が与えられた場合、まずtan(θ/2)からtan(θ)やcos(θ)を求めるために、半角の公式を使って式を展開することができます。具体的な計算方法は次の通りです。
- tan(θ) = 2tan(θ/2) / (1 – tan²(θ/2))
- cos(θ) = ±√(1 / (1 + tan²(θ)))
tanθを求める
次に、tan(θ)の値を求めます。tan(θ)は半角公式を使用して、tan(θ/2)が1/2であることを基に計算できます。これにより、tan(θ)を求め、次に必要なcos(θ)やtan2θに進むことができます。
cos(θ)の求め方
次にcos(θ)を求めます。tan(θ)の値が分かると、cos(θ)も次の公式を使って計算できます。
- cos(θ) = ±√(1 / (1 + tan²(θ)))
tan(θ)を代入して、最終的にcos(θ)の値を求めます。このとき、±の符号に注意が必要です。
tan2θの求め方
最後に、tan2θを求めます。tan(2θ)は二重角の公式を使って次のように求めます。
- tan(2θ) = 2tan(θ) / (1 – tan²(θ))
tan(θ)の値を代入し、tan2θを求めることができます。
まとめ
tan(θ/2) = 1/2という条件から、tanθ, cosθ, tan2θを求める問題では、半角公式と二重角公式を適切に使用することが重要です。まずtan(θ/2)を用いてtan(θ)を求め、その後cos(θ)を計算します。そして、最終的にtan2θを求めることができます。この問題を解くためには、数学の基本的な公式を理解し、正確に適用することが求められます。
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