√(4t^4-8t^3+8t^2-4t+1) = 2t^2-2t+1の式をどのように導くか

「√(4t^4-8t^3+8t^2-4t+1) = 2t^2-2t+1」という式の解法について、どうしてこの式が成り立つのか、そしてどうやって左辺から右辺を導くのかを解説します。この問題は、東大入試の理系数学問題に登場するもので、計算を決め打ちで進めるのではなく、丁寧に式を展開していく方法が求められます。

問題文の確認

与えられた式は「√(4t^4-8t^3+8t^2-4t+1) = 2t^2-2t+1」です。左辺に平方根があり、右辺に2次式があるため、平方根の中身が2次式の2乗になっていることが推測されます。しかし、単純に2乗の形を決め打ちせずに、左辺から右辺を導く方法を考えます。

左辺の式の展開

まず、平方根の中身である4t^4 – 8t^3 + 8t^2 – 4t + 1が、どのような形になるのかを確認します。この式が、(2t^2 – 2t + 1)の2乗の形になるかどうかを調べます。

式を展開してみましょう。

• (2t^2 – 2t + 1)^2 = (2t^2)^2 – 2×(2t^2)(2t) + 2×(2t^2)(1) – 2×(2t)(2t) + 2×(2t)(1) + (1)^2
• = 4t^4 – 8t^3 + 8t^2 – 4t + 1

展開すると、元の式と完全に一致します。したがって、左辺の平方根の中身が(2t^2 – 2t + 1)^2であることがわかります。

平方根を外す

次に、平方根を外して式を簡単にします。√((2t^2 – 2t + 1)^2)となりますが、平方根と2乗が相殺されるため、式は単純に2t^2 – 2t + 1となります。

注意点

ここで注意すべきは、平方根を取る際に±の符号が付く可能性があることです。しかし、元の問題の文脈から、この場合は符号が正であると考えられます。

結論

この問題では、決め打ちせずに左辺の式を丁寧に展開していくことで、右辺の式「2t^2 – 2t + 1」が導かれることが確認できました。式の展開を正確に行い、平方根を外すことで解答にたどり着くことができます。