三角形ABCのベクトル問題解法：内分点と直線の交点を求める方法

この問題では、三角形ABCの各辺を内分する点DとEを使い、直線BEとCDの交点P、さらに直線APと辺BCの交点Qを求めるベクトル問題です。具体的に、ベクトルを用いた解法のステップとその背後にある理論をわかりやすく解説します。

1. 問題の理解と条件の整理

三角形ABCにおいて、ABを1:2に内分する点D、ACを3:1に内分する点E、そして直線BEとCDの交点Pが求められています。さらに、直線APと辺BCの交点Qについてもその比を求める問題です。まず、これらの条件をベクトルに変換していきます。

ABを1:2に内分する点Dのベクトルを求めます。ABのベクトルを基に内分点Dを表すと、次のように書けます。

ベクトルAD = (2/3) * ベクトルAB, ベクトルBD = (1/3) * ベクトルAB

また、ACを3:1に内分する点Eのベクトルも同様に求めます。

ベクトルAE = (3/4) * ベクトルAC, ベクトルEC = (1/4) * ベクトルAC

直線BEと直線CDの交点Pを求めるには、両方の直線をベクトルのパラメータ表示で表現し、連立方程式を解く方法を取ります。これにより、交点Pを求めることができます。

直線BE: ベクトルP = ベクトルB + t * (ベクトルE – ベクトルB)

直線CD: ベクトルP = ベクトルC + s * (ベクトルD – ベクトルC)

これを解いて、交点Pを求めることができます。

直線APと辺BCの交点Qを求めるためには、まず直線APをベクトルの式で表現し、辺BCを同様にベクトルで表現します。そして、交点Qを求めるために連立方程式を解きます。

直線AP: ベクトルQ = ベクトルA + u * (ベクトルP – ベクトルA)

辺BC: ベクトルQ = ベクトルB + v * (ベクトルC – ベクトルB)

これらを連立させて、Qの位置を求めることができます。

交点Qを求めた後、BQ:QCの比を求めることができます。Qの位置がわかることで、辺BCを適切に区分けできるため、この比を計算することができます。

この問題の解法では、ベクトルを使って直線や内分点の位置を求め、連立方程式で交点を計算する方法を採用しています。これにより、各点の位置関係が明確になり、問題が解決できます。