テンソル積によるベクトル空間の次元と基底構成の解説

大学数学におけるテンソル積の問題は、特に格子やベクトル空間の拡大を扱う際に重要なテーマです。この記事では、テンソル積に関する問題を解決するための手順をわかりやすく解説します。具体的には、与えられたLとRを用いて、テンソル積Q×Rの次元と基底の構成方法について説明します。

テンソル積とは？

テンソル積は、2つのベクトル空間やモジュールの間において、新しいベクトル空間を構成する方法です。具体的には、Zでテンソル積を取る場合、2つのZ加群（またはZモジュール）に対して、そのテンソル積は新たな加群となり、ベクトル空間として扱えるようになります。

問題では、次のようにLとRが与えられています。

L = Zw1 + Zw2、ここでw1, w2は基底ベクトルです。
R = {α : 複素数 | αL ⊂ L}と定義されています。

このとき、テンソル積Q × R（Zでテンソルしたもの）は、係数拡大によりQベクトル空間となりますが、このテンソル積の次元と基底を求めるのが目的です。

まず、テンソル積Q × Rの次元を計算するために、次の点を考慮します。

QはQベクトル空間であり、RはLの拡大された構造です。したがって、テンソル積Q × Rの次元は、Qの次元とRの次元の積に等しくなります。Qの次元はそのベクトル空間の次元に対応し、Rの次元はLに対するRの拡大係数として求められます。

テンソル積の基底を構成するためには、まずLの基底w1, w2に対応するR内の元を組み合わせる方法を見つける必要があります。

具体的には、Rの各要素がLの基底ベクトルw1, w2に作用する様子を考慮し、テンソル積の基底を構成します。このとき、LとRの構造に基づいて、互いに直交する基底を選ぶことが重要です。

例えば、L = Zw1 + Zw2の場合、Rにおける複素数αがLに作用する様子を見ていきます。このとき、テンソル積Q × Rに対して、次のような基底が構成されます。

{w1 ⊗ α, w2 ⊗ α}、ここで⊗はテンソル積を意味します。このようにして、テンソル積空間の基底を求めることができます。

テンソル積Q × Rの次元は、QとRの次元の積に相当します。基底の構成については、LとRの構造に従って、適切な基底ベクトルを選び、テンソル積を取ることで解決できます。具体的な計算や基底の選び方に関しては、与えられた問題に合わせた細かな調整が必要です。