京大模試の数学問題解説：確率、合同式、積分計算の解法

今回は、京大模試の数学問題に挑戦します。問題は、サイコロを振る確率の問題、合同式を用いた数の個数の問題、そして定積分を計算する問題です。それぞれの問題を解くためのアプローチと解法を解説します。

1. サイコロを繰り返し振ったときの確率

最初の問題は、サイコロを繰り返し振って、出た目の累積和が初めて12以上になるまで振り続けるとき、サイコロを振った回数が3回である確率を求める問題です。

サイコロの目は1から6までの整数であり、各回の出目が独立していることを考慮します。まず、サイコロを1回振った時の期待値とその累積の和を計算し、3回目で12以上になるケースを求めます。具体的には、出目の和が11のとき、3回目で12になる確率を求めます。

次の問題では、1≦n≦1000 の整数nについて、n≡3(mod7) かつ n≡2(mod5) を満たすnの個数を求める問題です。合同式を用いて解く方法を解説します。

このような問題は中国剰余定理を利用して解くことができます。まず、合同式を連立させて解き、指定された範囲内での解の個数を数えます。具体的には、n = 7k + 3 とし、それを n = 5m + 2 の形に代入して、適切なmとkの範囲を決定します。

最後の問題では、関数f(x) = x²(1 – x)³ の定積分を計算する問題です。積分の計算に関しては、まず関数を展開し、積分を実行します。

関数を展開すると、f(x) = x²(1 – 3x + 3x² – x³) となります。この式をさらに展開し、各項を別々に積分することで、求める定積分 ∫[0→1] f(x) dx を計算します。結果として、この積分の値を導きます。

今回は、京大模試の数学問題について、確率、合同式、定積分の解法を解説しました。それぞれの問題を解くために、数学的なアプローチを順を追って丁寧に説明しました。問題を解くことで、数学の深い理解と問題解決能力を身につけることができます。