数Ⅲの微分法：不等式 a^x ≧ ax の成立条件と定数 a の求め方

数Ⅲの微分法で出てくる不等式 a^x ≧ ax の成立条件について、定数 a の値を求める方法を詳しく解説します。問題を解く際のステップや場合分けの過程について、順を追って説明します。

不等式の整理と考え方

与えられた不等式は、a^x ≧ ax です。この不等式を成立させるために、まず両辺の関数の挙動を調べることが必要です。特に、関数の増加率や微分を使って場合分けする必要があります。

まず、関数 f(x) = a^x – ax と定義します。この関数が 0 以上であるとき、すなわち f(x) ≧ 0 のときに不等式が成立します。次に、この関数を微分して増加・減少の挙動を調べます。

関数 f(x) を微分すると、f'(x) = a^x ln(a) – a となります。この微分を使って、関数が増加するか減少するかを判定します。特に、a が 1 より大きい場合と小さい場合で挙動が異なるため、場合分けを行います。

例えば、a > 1 の場合、関数 f(x) は増加し、x > 0 において不等式が成立する条件が求まります。

次に、f'(x) = 0 となる点を求めると、a の値によって不等式が成立する範囲が決まります。具体的には、a の値が 1 より大きい場合に不等式が成立することがわかります。

不等式 a^x ≧ ax を解く際には、関数を定義し、微分を行うことで成立条件を求めます。場合分けを行い、定数 a の範囲を求めることが重要です。最終的に、この不等式が成立するための定数 a は、a > 1 であることがわかります。