2次方程式と因数分解：なぜ(x - α)(x - β)となるのか

2次方程式x^2 + px + q = 0の解が、x = α、βである場合、方程式を(x – α)(x – β)と因数分解できます。しかし、なぜこの因数分解の式で「-」が使われるのか、疑問に思った方も多いかもしれません。この記事では、その理由と背景を分かりやすく解説します。

1. 2次方程式の因数分解の基本

まず、2次方程式x^2 + px + q = 0の解がαとβであることから、因数分解の形は(x – α)(x – β)になります。これは、解と係数の関係に基づくものです。

2次方程式の一般的な解法として、解と係数の関係があります。解の公式を使わなくても、因数分解を使って解を求めることができます。

2次方程式の因数分解の式で「-」が使われる理由は、方程式の解を求める際に、定数項と係数の符号が関係しているためです。式(x – α)(x – β)は、2つの解αとβを使って構築されますが、符号の「-」は解の値を正確に表現するために必要です。

具体的には、もし解が正の数であれば、符号「-」を使うことで解を引き算として表現できます。これにより、解を満たすxの値を得ることができるのです。

2次方程式x^2 + px + q = 0において、解のαとβは次のような関係を持っています。

この関係に基づいて因数分解を行うことで、解を求める式が(x – α)(x – β)となります。この形式は、解の符号に合わせたものであり、正確な解を導きます。

例えば、2次方程式x^2 – 5x + 6 = 0を考えてみましょう。この方程式の解は、解の公式を使うとx = 2, 3となります。したがって、因数分解すると(x – 2)(x – 3)となります。このとき、符号「-」が正しい結果を得るために使われていることがわかります。

2次方程式の因数分解において「-」の符号が使われるのは、解を引き算として表現するためです。解と係数の関係を理解することで、この因数分解の仕組みをしっかりと把握することができます。解の和や積との関係を意識して因数分解を行い、正確な解を求めましょう。