自由落下と鉛直投射の問題：小球AとBが衝突する時刻を求める方法

物理学における自由落下と鉛直投射に関する問題は、運動方程式を用いて解くことができます。この記事では、時刻t=0において、高さhの塔から自由落下させた小球Aと、地上から鉛直上向きに初速度vB,0で投げ上げた小球Bが空中で衝突する時刻を求める方法を解説します。

問題の整理

まず、問題の設定を整理しましょう。小球Aは高さhの塔から自由落下を開始し、これに対応する運動方程式は次のように表せます。

また、小球Bは地上から鉛直上向きに初速度vB,0で投げ上げられます。これを解くためには、両方の小球の運動方程式を立て、衝突時刻tcを求めます。

小球Aの運動は自由落下なので、加速度は重力加速度gだけであり、初速度は0です。小球Aの位置hA(t)は、次の運動方程式で表されます。

hA(t) = h – (1/2) * g * t^2

ここで、hは小球Aの初期位置（塔の高さ）、gは重力加速度、tは経過時間です。

次に、小球Bの運動を考えます。小球Bは初速度vB,0で上向きに投げ上げられます。小球Bの位置hB(t)は、次の運動方程式で表されます。

hB(t) = vB,0 * t – (1/2) * g * t^2

ここで、vB,0は小球Bの初速度、gは重力加速度、tは経過時間です。

衝突時刻tcは、小球Aと小球Bの位置が一致する時刻です。したがって、hA(tc) = hB(tc)となるように方程式を解きます。

h – (1/2) * g * tc^2 = vB,0 * tc – (1/2) * g * tc^2

両辺を整理すると、以下のような方程式が得られます。

h = vB,0 * tc

したがって、衝突時刻tcは次のように求められます。

tc = h / vB,0

小球Aと小球Bが空中で衝突する時刻tcは、h / vB,0という式で求めることができます。この方法を使えば、自由落下と鉛直投射の問題を簡単に解くことができます。問題を解くためには、それぞれの運動方程式を立て、衝突条件を満たす時刻を求めることが重要です。