解説：難解な数学問題の解法と考え方

この質問では、いくつかの数学的な問題を解く方法を探求しています。内容は数論や漸化式、数列の循環性など、多岐にわたります。今回は各問題を分解し、それぞれの解法を示します。

①n^2 + 2025 = k^3 の解法

まず、n^2 + 2025 = k^3という式において、nの値を求めるために式を整理します。この式ではnとkが整数であることが求められています。具体的な方法として、まずk^3がn^2 + 2025の形をとる整数解を考察します。

この問題では、漸化式a(k+1) ≡ a(k)^2 + 1 (mod n)によって定義される数列{a(k)}の循環性について考えます。鳩の巣原理を用い、この数列が必ず循環することを示します。さらに、数列の循環節の長さがnより小さくなるかどうかを考察します。

次に、漸化式において、循環節の長さがnに等しくなる(n, a₀)の組が有限個しか存在しないことを証明します。これは組合せ論や数論的な性質を使って示すことができます。

この問題では、n≧2の場合に循環節の長さがnに等しくなる組が(2, 1)以外に存在するかどうかを考えます。数学的な証明と反例を通じて、解答を導きます。

与えられたルールに従って数列がどのように進んでいくか、特にすべての正の整数Nに対して、数列が最終的に1に到達し循環することを証明します。これは数論と漸化式の性質を組み合わせた問題です。

この問題では、自然数Nが少なくとも3つの異なる素数を約数に持つとき、Nの異なる真の約数d₁, d₂に対して、d₁ + d₂がNの約数であるようなNが存在するかどうかを考えます。数論的な観点から、この問題を証明または反証します。

これらの問題はそれぞれ異なる数学的なアプローチを必要とし、数論、漸化式、組合せ論などの知識が求められます。各問題の解法を通じて、数学的な思考の幅を広げることができます。難解に見える問題でも、しっかりとしたアプローチで解決できることを示しました。