可換環RにおけるイデアルIがRの単位元1を含むとき、I = Rが成立することはよく知られています。しかし、その逆の命題が成立するのかについては少し注意が必要です。この記事では、イデアルIがRの単位元1を含む場合と、その逆について詳しく解説します。
イデアルと単位元の関係
可換環RにおけるイデアルIは、Rの部分集合であり、Rの加法と乗法に関して閉じている集合です。特に、IがRの単位元1を含む場合、I = Rとなることが知られています。なぜなら、Rの単位元1は任意のr ∈ Rに対してr = r * 1が成り立つため、1がIに含まれていれば、Iの中の任意の要素rも1を使ってR全体にアクセスできるからです。
ここで、Iが単位元1を含むときに、I = Rが成立する理由について再確認します。IがRの単位元1を含む場合、任意のr ∈ Rに対して、r = r * 1となり、したがってrはIに含まれることになります。これにより、IがR全体を包含することがわかります。
その逆が成立するか？
次に、逆の命題が成立するのかを考えます。すなわち、「I = Rの場合、Iは単位元1を含むのか？」という問いです。実は、この逆の命題は常に成立します。
もしI = Rであれば、IはRのすべての要素を含んでいるため、Rの単位元1もIに含まれます。したがって、I = Rの場合、必ずIは単位元1を含みます。
結論
可換環Rにおいて、イデアルIがRの単位元1を含むならばI = Rが成立します。また、I = RならばIは単位元1を含むことが確かめられました。したがって、この命題は双方向的に成立することがわかります。
まとめ
可換環におけるイデアルと単位元1の関係について、IがRの単位元1を含む場合にはI = Rとなり、その逆も成立することが示されました。これらの性質は、イデアルの基本的な性質を理解する上で重要なポイントです。
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