集合の合併を求める際に、重複した要素を取り扱う方法についてはしばしば混乱を招きます。特に、集合の要素数を求める際に加算・減算が必要になる場合、その理由を理解することが重要です。今回は、集合A、B、Cの合併を計算する過程で出てくる「+2」の理由について解説します。
集合A, B, Cの定義
まず、質問に出てくる集合A、B、Cの定義を整理しましょう。
- A = {n | nは48の正の約数}
- B = {n | nは30以下の正の奇数}
- C = {n | nは54の正の約数}
これらの集合の要素を求めることが、最終的な計算に繋がります。
集合の合併と重複の問題
集合A, B, Cを合併する際に、重複して含まれる要素をどう扱うかが問題となります。合併（A∪B∪C）の要素数を計算するためには、次のような式を使用します。
要素数 = |A| + |B| + |C| – |A∩B| – |A∩C| – |B∩C| + |A∩B∩C|
+2を加える理由
「10 + 15 + 8 + 2 – 4 – 4」という計算式までは合っているとのことですが、「+2」を加える理由について考えてみましょう。これは、集合A、B、Cのすべての交差部分を含めるために必要な操作です。
交差部分を引いた後でも、重複して除外されてしまう要素が残る場合があります。特に、3つの集合A、B、Cすべてに共通して含まれる要素（A∩B∩C）が考慮されていないため、それを補うために+2を加えます。
具体的な計算例
例えば、集合A、B、Cにおいて、ある要素がA、B、C全てに含まれている場合、その要素は最初に3回カウントされます。次に、この要素を3つの交差部分（A∩B, A∩C, B∩C）で2回引くと、最終的にその要素が一度もカウントされないことになります。この誤差を補うために、「+2」が加えられるのです。
まとめ
集合A∪B∪Cの要素数を求める際、重複を適切に処理するために、交差部分の調整が必要です。最初に交差部分を引くことで重複を取り除きますが、最終的にすべての交差部分を補うために+2を加えることが必要です。これにより、正確な要素数を求めることができます。
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