三角関数の方程式「cos2θ = sin4θ」の解の個数を求めるためには、まずこの方程式を簡単にして解く必要があります。この記事では、方程式を解くためのステップと解の個数を求める方法を解説します。
cos2θ = sin4θ の解法ステップ
まず、与えられた方程式 cos2θ = sin4θ を簡単にするために、三角関数の基本的な性質を利用します。sin4θは、2倍角の公式を使って表現できます。これを利用して、方程式を次のように書き換えます。
sin4θ = 2sin2θcos2θ という公式を使うと、方程式は次のように変形できます。
cos2θ = 2sin2θcos2θ方程式の整理と解法
次に、この方程式を整理して解きます。両辺に cos2θ を含んでいるので、cos2θ で割ることができます。ただし、cos2θ ≠ 0 の場合に限ります。これを行うと次のようになります。
1 = 2sin2θこれをさらに整理すると、sin2θ = 1/2 となります。
次に、この解を求めます。sin2θ = 1/2 となるのは、2θが 30°（π/6）または150°（5π/6）であるときです。したがって、2θ = π/6 または 5π/6 となります。
解の個数を求める
次に、この解を求めます。2θ = π/6 の場合、θ = π/12 となり、2θ = 5π/6 の場合、θ = 5π/12 となります。
ここで、θの値が 0≦θ＜2π の範囲にある解を求める必要があります。θ = π/12, 5π/12 の他にも、360°（2π）ごとに繰り返し解が存在するため、θの解は複数あります。
最終的な解の個数
この方程式の解は、0≦θ＜2π の範囲で計算すると、次のように複数の解を得ることができます。
- θ = π/12, 5π/12, 3π/4, 7π/12, 11π/12, 13π/12, 17π/12, 19π/12
これらはすべてθの範囲0≦θ＜2π内で満たす解です。したがって、この方程式の解の個数は8個です。
まとめ
cos2θ = sin4θ の方程式を解くためには、三角関数の公式を使って方程式を整理し、解を求めました。最終的な解の個数は、0≦θ＜2πの範囲で8個となります。これらの解を求める過程を理解することで、三角関数の方程式を解く力がつきます。
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