空気抵抗を受ける物体の落下運動における位置関数の挙動

空気抵抗を受ける物体の落下運動において、位置の関数を求めた結果として得られた式についての疑問を解決します。特に、時間tが無限大（t→∞）になると、位置が無限大になってしまうのではないかという質問について、式の挙動と物理的解釈について説明します。

空気抵抗を受ける物体の運動方程式

空気抵抗を考慮した物体の落下運動は、通常、速度と位置が時間の関数として表現されます。位置関数は、物体の質量m、重力加速度g、空気抵抗係数kを用いて次のように表されます。

x(t) = (mg/k)t + (m²g/k²)e^(-kt/m) + h – m²g/k²

この位置関数を解析すると、時間tが無限大に近づくと、指数関数の項(e^(-kt/m))が0に収束し、最終的には次のような式になります。

x(∞) = h – m²g/k²

したがって、時間が無限大に達すると、物体は最終的に位置x = h – m²g/k²に収束します。ここで、無限大になるのは位置ではなく、位置の変化率（速度）です。

物理的には、空気抵抗がある場合、物体の速度は次第に減少し、最終的には一定の速度に達します。この状態を「終端速度」と呼び、これが物体が無限に落下した場合に到達する速度です。位置が無限大に達することはなく、物体は終端速度に達した後、一定の位置で落下を続けることになります。

t→∞のときに位置が無限大になるわけではなく、むしろ指数関数の項が消えた後、位置は定常的な値に収束します。この現象は、空気抵抗による力が物体の加速を減少させ、最終的に物体が一定の速度で落下することを示しています。

空気抵抗を受ける物体の落下運動では、位置関数はt→∞のときに無限大に発散するわけではなく、最終的には定常的な位置に収束します。この収束は物体が終端速度に達したことを意味し、物体の位置は時間が無限大に近づくにつれて安定します。