1957年東大文系数学の3次方程式の解法とaの値の求め方

1957年の東大文系数学の問題において、3次方程式x^3 + ax^2 + 25x – 26 = 0の1つの解が2であるとき、aの値を求め、さらに他の解を求める問題です。この問題では代数的な計算を使って解いていきます。以下に詳細な解法を示します。

1つの解が2であることを利用

与えられた方程式はx^3 + ax^2 + 25x – 26 = 0です。解の1つが2であるという情報を利用するために、x = 2を代入してみましょう。方程式に代入すると、

2^3 + a(2^2) + 25(2) – 26 = 0

これを計算すると、8 + 4a + 50 – 26 = 0となります。簡単に計算すると、4a + 32 = 0となり、a = -8となります。

したがって、a = -8です。この値を使って、次は他の解を求めます。

次に、a = -8を代入して、方程式をx^3 – 8x^2 + 25x – 26 = 0にします。ここから、x = 2が解であることが分かっているので、この解を因数分解に利用します。

方程式を(x – 2)(x^2 + bx + c)の形に因数分解します。まず、(x – 2)で割り算を行ってみます。

x^3 – 8x^2 + 25x – 26を(x – 2)で割ると、商はx^2 – 6x + 13になります。したがって、方程式は次のように因数分解できます。

(x – 2)(x^2 – 6x + 13) = 0

ここで、x^2 – 6x + 13 = 0という2次方程式を解くと、解の公式を使って解くことができます。

x = (-(-6) ± √((-6)^2 – 4(1)(13))) / 2(1)

計算すると、x = (6 ± √(36 – 52)) / 2 = (6 ± √(-16)) / 2となり、x = 3 ± 2iとなります。したがって、残りの2つの解は複素数で、x = 3 + 2iとx = 3 – 2iです。

このように、a = -8と求め、残りの解はx = 3 + 2i、x = 3 – 2iとなります。この問題では、代数の基本的な操作と因数分解の方法を使用して解くことができました。