この記事では、「nが奇数のとき、10^n + 1が11の倍数になる理由」について詳しく解説します。中学生の方でもわかりやすいように、基本的な考え方から実例を交えて説明します。
10^n + 1が11の倍数になる理由
まず、10^n + 1が11の倍数であるかどうかを調べるためには、10^n + 1を11で割ったときに余りが0になるかを確認します。このとき、nが奇数であることが重要なポイントとなります。
nが奇数のとき、10^nという数は、11で割ったときに特定の法則に従って周期的に変動します。この法則を理解するためには、10^nを11で割った余りを調べることが有効です。
10の累乗を11で割った余りのパターン
まず、10を11で割った余りを見てみましょう。10 ÷ 11 = 1 あまり 10です。次に、10^2を11で割った余りを調べると、100 ÷ 11 = 9 あまり 1 となります。このように、10の累乗を11で割った余りは、一定の周期で繰り返されます。
具体的には、次のような余りのパターンが現れます。
- 10^1 ≡ 10 (mod 11)
- 10^2 ≡ 1 (mod 11)
- 10^3 ≡ 10 (mod 11)
- 10^4 ≡ 1 (mod 11)
つまり、10の累乗を11で割った余りは、2の周期で「10」と「1」を繰り返します。
nが奇数のときの計算
nが奇数の場合、10^nは余り10を持ちます。したがって、10^n + 1を11で割ると、10 + 1 = 11となり、余りは0になります。つまり、nが奇数のとき、10^n + 1は11で割り切れるため、11の倍数になるのです。
例えば、n = 3のとき、10^3 + 1 = 1001となり、1001 ÷ 11 = 91 となります。これが11の倍数であることが確認できます。
nが偶数の場合の計算
一方、nが偶数の場合、10^nは余り1を持つため、10^n + 1は2になります。これは11で割ると余りが2になるので、11の倍数ではなくなります。
このように、nが偶数の場合は10^n + 1は11で割り切れないことがわかります。
まとめ
nが奇数のとき、10^n + 1が11の倍数になる理由は、10の累乗を11で割った余りが周期的に「10」と「1」を繰り返し、奇数のときにその余りが10になるためです。これにより、10^n + 1は11で割り切れるということが確認できます。
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