数学の問題で、微分を使わずに最大値と最小値を求める方法は、区間の端点や関数の挙動をしっかり確認することが重要です。今回は、xが-2以上2以下の範囲で、y = x/(x² – x + 1)の最大値と最小値を求める方法を解説します。
関数の形を確認する
与えられた関数はy = x/(x² – x + 1)です。まず、分母のx² – x + 1を確認すると、この式は常に正の値を取るため、関数の値が負になることはありません。次に、この関数が定義される範囲はx = -2からx = 2までです。
この範囲内で最大値と最小値を求めるためには、端点での値を計算し、関数の挙動を確認することが重要です。
端点での値を計算する
まず、x = -2のときの関数の値を求めます。y = -2/((-2)² – (-2) + 1) = -2/(4 + 2 + 1) = -2/7 です。
次に、x = 2のときの関数の値を求めます。y = 2/((2)² – 2 + 1) = 2/(4 – 2 + 1) = 2/3 です。
関数の挙動を確認する
次に、この関数の挙動をよく見るために、xの範囲内でどのように変化するかを理解します。分母のx² – x + 1は、xの変化に応じて増加または減少することなく、常に正の値を保っています。このことから、yの値がxの値に応じて一貫して変化していることがわかります。
また、分子のxはxの値に応じて増減しますが、分母の影響を受けて、関数が増加または減少することがわかります。
最大値と最小値の決定
x = -2のとき、yの値は-2/7となり、x = 2のときは2/3となります。したがって、最大値はx = 2のときの2/3、最小値はx = -2のときの-2/7です。
まとめ
微分を使わずに最大値と最小値を求めるには、関数の形や端点での値を計算することが重要です。今回の問題では、y = x/(x² – x + 1)の最大値は2/3、最小値は-2/7であることがわかりました。
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