三角関数の不等式を解く方法 – tを用いた解法

この質問では、三角関数を用いた不等式の解法を扱います。問題では、t = sinθ – cosθとおいて、sin2θをtを用いて表し、不等式を解く手順が求められています。これを順を追って解説します。

問題の整理

まず、与えられた不等式は以下の通りです：
√sin2θ – 5cosθ + 5cosθ < 3√2 。
ここで、t = sinθ – cosθとおいて、sin2θの式をtを用いて表現する方法について考えます。

tを使ってsin2θを表す方法として、次のように変形できます。
sin2θは、三角関数の合成を利用して、tを使って sin2θ = ア – t² という形に表せます。ここでアは適切な定数で、tの平方の式になります。

次に、tの取り得る値の範囲を求めます。t = √イsin(θ – 4/ウ)の形に変形することができるので、tの範囲を-√エ≦t≦√エであることがわかります。これは、三角関数の合成を用いた結果です。

問題の不等式 √オt + カ)(t + キ) > 0 となります。この式をtについて解くと、tの範囲がク < t ≦ ケとなり、その解を求めることができます。

最後に、tの値が-√エ≦t≦√エという範囲にあることに注意して、tの不等式を解くことで、θの範囲を求めます。この結果、θはπ/コサ < θ < シス/セソπ という範囲に収まります。

この問題では、tを用いて三角関数の不等式を解き、最終的にθの範囲を求めることができました。tを用いた解法により、複雑な三角関数の問題を整理して解くことが可能です。